Registros semióticos de
representación en el tratamiento del crecimiento y concavidad de una función
Semiotic registers of
representation in the treatment of the growth and concavity of a function
Graciela
C. Lombardo 1, Velma M. Benítez1,
Lucas J. Domínguez1, René M. Skrypczuk1, Liliana R. Pagnoni1
1- Facultad de Ciencias Económicas, Universidad Nacional de Misiones, Ruta 12 Km 7 ½
CP 3304, Miguel Lanús,
Misiones, Argentina.
* E-mail: gracielalombardo@gmail.com
Recibido:
03/08/2020; Aprobado: 28/10/2020
Resumen
El
propósito del presente trabajo fue identificar los registros semióticos de
representación en el tratamiento del crecimiento y concavidad de una función en
relación a la función derivada. Se tomaron como objeto de estudio evaluaciones
del primer y segundo cuatrimestre, de la asignatura Análisis Matemático de la
Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional de Misiones, ambas
del año 2019.
Se
llevaron a cabo dos etapas claramente diferenciadas entre sí, aunque
complementarias. En la primera se analizaron los registros de representación
empleados en el primer parcial del primer cuatrimestre, con relación al tema
abordado. En tanto que en la segunda etapa se implementó, en un primer momento,
una secuencia didáctica diseñada a efectos de promover el mayor uso de
registros en el abordaje temático; y en un segundo momento analizar el uso de
registros semióticos de representación en dos grupos de alumnos de una misma
comisión.
Este trabajo propició herramientas para repensar la
práctica docente y generar actividades que promuevan el uso de diferentes
registros semióticos de representación a efecto que estén presentes para la resolución
de actividades, aún diferentes a las realizadas comúnmente.
Palabras clave: Registros semióticos de
representación; Función derivada;
Crecimiento, Concavidad; GeoGebra
Abstract
The purpose of this work was to identify the semiotic
registers of representation in the treatment of the growth and concavity of a
function in relation to the derived function. Assessments from the first and
second semester 2019 of the subject Mathematical Analysis of the Faculty of
Economic Sciences of the National University of Misiones were taken as study
object.
Two clearly differentiated, though complementary,
stages were carried out. In the first, the representation records used in the
first part of the first four-month period were analyzed. In the second stage, a
didactic sequence designed to promote the greater use of registers in the
thematic approach was first implemented; and in a second phase, the use of
semiotic representation registers was analyzed within two teams of students
from the same instructional grouping.
This work provided tools to rethink our teaching
practice and to generate activities that would promote the use of different
semiotic registers of representation, so that they are present for solving
activities, even for the ones that may differ from those that are generally
implemented.
Key words: Semiotic representation registers; Derived function;
Growth; Concavity; GeoGebra
Introducción
El
presente artículo es un avance del proyecto de investigación “Análisis de la incidencia
en el razonamiento visual del software GeoGebra en el proceso de enseñanza y
aprendizaje del Cálculo”, de la Facultad de Ciencias Económicas (FCE) de la
Universidad Nacional de Misiones (UNaM), aprobado según Resolución CD N° 009/19
(16/E1007-PI).
En el
marco de la enseñanza universitaria, y en particular en Cálculo, los docentes
buscan diversos métodos que mejoren la calidad del proceso de enseñanza y
aprendizaje. Por tal motivo se recurre a la investigación educativa para que,
mediante la adecuación del conocimiento específico, este sea transferido
efectivamente a los educandos. Un punto álgido para lograr este cometido es
propender la integración y el compromiso de los estudiantes en ese proceso, ya
como actores fundamentales y no como meros receptores de contenidos.
La
investigación exploratoria se realizó en la Cátedra Análisis Matemático de las
carreras Contador Público, Licenciatura en Administración de Empresas y
Licenciatura en Economía, de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad
Nacional de Misiones, durante los dos cuatrimestres del año 2019. El objeto de
estudio fueron las evaluaciones de los estudiantes de dos comisiones del
mencionado período.
El
propósito de esta etapa de investigación fue determinar cuáles son los
registros semióticos de representación utilizados por los estudiantes en el
tratamiento de la relación existente entre el crecimiento y concavidad de una
función con su función derivada.
La motivación
para realizar este trabajo emerge de observar, año a año, dificultades en la
interpretación de la relación existente entre los intervalos de crecimiento,
decrecimiento, concavidad y convexidad de una función y las características
intrínsecas de la función derivada. Sumado a este inconveniente está, en muchos
alumnos, el manejo escaso de registros semióticos de representación en los
diversos conceptos del Cálculo Diferencial, y el tratado en esta oportunidad no
es la excepción.
Marco
teórico
Las
representaciones semióticas son las “producciones constituidas por el empleo de
signos que pertenecen a un sistema de representación, el cual tiene sus propias
limitaciones de significado y de funcionamiento” [1]
Por
ser entes abstractos, los objetos matemáticos son visualizados mediante
representaciones semióticas diversas. Una función o una relación funcional
puede expresarse mediante un conjunto infinito de pares ordenados, de forma
tabular, a través de una gráfica, etc. [2]
En
toda actividad matemática se recurre a la transformación de signos dentro de
sistemas semióticos culturalmente dados, por lo tanto, el aprendizaje de las
matemáticas intrínsecamente es, ante todo, una actividad semiótica. Para
comprender el uso de signos se debe tener en cuenta la actividad reflexiva
mediada que subyace a la coordinación de sistemas semióticos, esto es, a las
configuraciones cognitivas que son activadas por dichos sistemas de prácticas.
[3]
Una teoría que permite
caracterizar el trabajo matemático vinculado a las funciones es el enfoque
cognitivo basado en los registros de representaciones semióticas de Duval
(1995). El mismo plantea que la conceptualización se
logra cuando el estudiante es capaz de recurrir a varios registros de
representación semiótica, como ser: gráficos, símbolos, íconos, tablas,
expresiones en lenguaje natural, etc. Aunque se ha determinado que los alumnos
poseen dificultades en la conversión entre diferentes registros de
representación, hasta en algunos casos imposible de ser realizada [1]. [2]
Las
representaciones cumplen funciones como mediar con los objetos matemáticos y el
entendimiento de los conceptos abordados.
En particular, lo que se
refiere a representaciones ostensivas que están vinculadas al concepto de
función, pueden clasificarse en expresión verbal, tabla, gráfica y expresión
analítica [4] [5].
La
representación verbal se relaciona con la capacidad lingüística de las
personas, y es básica para interpretar y relacionar las otras tres; la
representación en forma de tabla se relaciona con el pensamiento numérico; la
representación gráfica se conecta con las potencialidades conceptualizadoras de
la visualización y se relaciona con la geometría y la topología; mientras que
la expresión analítica se conecta con la capacidad simbólica y se relaciona principalmente
con el álgebra. [5]
Las transformaciones entre representaciones pueden ser el tratamiento de
una representación que es la transformación de la representación dentro del
mismo registro donde ha sido formulada y la conversión de una representación
que es la transformación de la representación en otra representación de otro
registro, en la que se conserva la totalidad o parte del significado de la
representación inicial. [6]
Las habilidades que
requieren los alumnos para realizar las transformaciones en un mismo registro o
conversiones entre diferentes registros se muestran en la Tabla 1 [4]. Con el
paso de una a otra representación se amplía y reorganiza la información presente
en la representación de salida.
Tabla 1. Habilidades requeridas
en las transformaciones entre registros semióticos de representación
|
Hasta Desde |
Descripción verbal |
Tabla de datos |
Gráfico cartesiano |
Expresión algebraica |
|
Descripción verbal |
Describir |
Medir |
Esbozar |
Modelizar |
|
Tabla de datos |
Leer |
Modificar |
Dibujar |
Ajustar |
|
Gráfico cartesiano |
Interpretar |
Leer |
Variar (escala o unidades) |
Ajustar |
|
Expresión algebraica |
Reconocer parámetros |
Calcular |
Dibujar |
Transformar |
Resulta
fructífero que los estudiantes realicen las transformaciones entre todas las
formas de representación (incluso dentro de una misma forma), aunque la
incorporación de software matemático, al proceso de enseñanza y aprendizaje,
imprime el riesgo de facilitar o automatizar algunas de ellas. De aquí la
conveniencia de posibilitar la transformación entre el registro gráfico y la
expresión simbólica [5].
Materiales
y métodos
La
investigación exploratoria efectuada tomó como objeto de estudio las
evaluaciones de los alumnos de la asignatura Análisis Matemático, de las
Carreras de grado (Contador Público, Licenciatura en Administración de Empresas
y Licenciatura en Economía) de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad
Nacional de Misiones. Esta exploración corresponde a dos cursos del ciclo
lectivo 2019, uno al primer cuatrimestre (doble cursado) y otros dos al segundo
cuatrimestre (cursado normal). En ambos casos se centró el análisis sobre los
conceptos relativos a crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad de
una función.
Se
pueden reconocer dos etapas en este período de investigación, las cuales atañen
y tienen como propósito la identificación del uso de registros semióticos de
representación en la resolución de actividades propias de exámenes parciales del
primer cuatrimestre del año 2019, como también en el segundo cuatrimestre del
mismo año.
A tal
efecto, se adaptó la Tabla 1 incorporando dos columnas a cada una de las
existentes, donde con el fin de indicar si la respuesta en esa transformación o
conversión, según corresponda, está bien (B), regular (R), mal (M) o no responde
(N) (Ver Tabla 2).
En tal
sentido, los significados de las calificaciones refieren a la forma en que el
estudiante realizó los tratamientos en los registros semióticos de
representación. En particular se consideró regular (R) a una transformación que
tiene algún error en el proceso resolutivo, ya sea gráfico, tabular o analítico,
pero no es incorrecto en su totalidad.
Cabe
aclarar que, en el proceso investigativo, se completó una tabla por cada examen
escudriñado.
Tabla 2. Calificaciones de
habilidades de las transformaciones entre registros semióticos de
representación
|
Hasta Desde |
Descripción verbal |
Tabla de datos |
Gráfico cartesiano |
Expresión algebraica |
||||||||||||
|
B |
R |
M |
N |
B |
R |
M |
N |
B |
R |
M |
N |
B |
R |
M |
N |
|
|
Descripción verbal |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tabla de datos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gráfico cartesiano |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Expresión algebraica |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Primera etapa: Teniendo
en cuenta que la
conceptualización, en Matemática, se logra cuando el estudiante es capaz de
recurrir a varios registros semióticos de representación, y ante la experiencia
docente de observar inconvenientes, incluso fracasos, en el abordaje de esta
temática, es que se planteó el propósito de identificar cuáles son los
registros que usualmente utilizan los alumnos en las resoluciones de
actividades inherentes a estos conceptos.
Esta etapa
transcurrió durante el primer cuatrimestre del año 2019. El equipo de
investigación identificó en las resoluciones de una actividad del primer examen
parcial (Figura 1), efectuadas por los alumnos cursantes, cuáles fueron los
registros de representación utilizados, así como las transformaciones de las
representaciones dentro de un mismo registro, y la conversión de
representaciones en otras de otros registros.
Dada
la función , indicar cuáles son los intervalos de
crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad. Graficar.
Figura 1.
Actividad del primer parcial del primer cuatrimestre 2019.
Segunda etapa: Esta
aconteció durante el segundo cuatrimestre del año 2019; se llevaron a cabo dos subetapas
diferentes, aunque complementarias:
Primera subetapa: Teniendo
en cuenta que el uso de la mayor cantidad de representaciones semióticas
posibilita la mediación entre los objetos matemáticos y el entendimiento de los
conceptos abordados, es que el equipo de investigación decidió diseñar un
instrumento que genere la intervención y uso de una mayor cantidad de registros
posibles.
Es así
que, se diseñó una secuencia didáctica referida al tema en cuestión (Figura 2).
Se
pensó este instrumento a los efectos de promover el mayor uso de registros
semióticos de representación en el abordaje temático, a través de la
utilización de GeoGebra. A tal efecto, los estudiantes deberían asistir con
notebook o netbook o bien con Smartphone con el software GeoGebra instalado.
Cabe
destacar que, entre las características con las que cuenta GeoGebra están las
diferentes vistas, las cuales se actualizan sincrónicamente a medida que se
introducen modificaciones en cualquiera de ellas, en este caso la función y la
recta tangente tratadas en la secuencia. Las vistas que dispone el software, y
que fueron utilizadas con los fines antes aludidos, son: algebraica, gráfica y
hoja de cálculo. Estas se corresponden con los registros: analítico, gráfico y
tabular, respectivamente. Además, GeoGebra cuenta con recurso de animación que potencian la visualización de las características propias de
la función y su relación con la función derivada, en cada uno de los registros
semióticos de representación.
Posteriormente
se implementó, la mencionada subetapa, en la comisión del turno mañana, durante
dos módulos de dos horas reloj cada uno, y los alumnos trabajaron grupalmente.
a)
Graficar, en GeoGebra, la función +
b)
Crear el deslizador “a” definido
entre -10 y 10
c)
Generar el punto
d) ¿Cuál es el significado de ?
e) Graficar la recta tangente a la gráfica de en
f)
Determinar el valor de la pendiente de la recta tangente en , y su signo de acuerdo a las coordenadas de
.
g) Analizar y determinar las características o
comportamiento que posee la función , en relación al signo de
.
h) ¿Qué puede afirmarse respecto del crecimiento o
decrecimiento que tiene la pendiente de la recta tangente de acuerdo a las
coordenadas de ?
i) Analizar y determinar las características que
posee la función , en relación al crecimiento o decrecimiento del
valor de
.
Figura 2.
Actividades de la secuencia didáctica.
Para
la ejecución de la secuencia didáctica, se diseñó la Tabla 3, cuyas columnas se
completaron sucesivamente a medida que los equipos abordaron los ítems c), d),
e), f), g), h), e i) de la actividad 1, respectivamente, para luego, en cada
caso, hacer la puesta en común en el pizarrón.
Tabla 3. Registros de la
secuencia didáctica.
|
1° |
2° |
3° |
4° |
5° |
6° |
7° |
8° |
|
a |
|
|
Signo
de |
Característica
de |
¿ |
Característica
de |
Signo
de |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Segunda subetapa: El
propósito de esta etapa fue determinar la diferencia en la utilización de mayor
cantidad de registros semióticos de representación entre los alumnos que
asistieron a la secuencia didáctica y los que no. Estos últimos no lo hicieron
diversos motivos personales ajenos a la cátedra.
En
esta subetapa se estudiaron las actividades resueltas en los exámenes escritos,
utilizando como marco de referencia a los autores mencionados precedentemente
(Figura 3).
A tal
efecto, se tomaron de las evaluaciones del primer parcial las resoluciones de
la actividad relativa al tema abordado en el presente. Los exámenes indagados
fueron, por un lado, de aquellos alumnos que asistieron a la secuencia
didáctica (grupo experimental) y, por otro, de los restantes, de la misma
comisión, que no estuvieron presente en esa oportunidad (grupo de control).
Dada
la gráfica de : a)
Indicar los intervalos de crecimiento, puntos críticos, intervalos de
concavidad y convexidad y punto de inflexión de
b) Hacer
un bosquejo de
Figura 3.
Actividad del primer parcial del segundo cuatrimestre 2019.
Resultados
Primera etapa: La
cantidad de alumnos que realizaron el primer parcial del primer cuatrimestre
del 2019, respecto de los cuales se llevó a cabo la investigación exploratoria,
fue 32.
Tal
como fuera indicado en la sección anterior, se procedió a completar la Tabla 2,
una por cada examen analizado. En tal sentido, pudo determinarse que los
tratamientos dentro de un mismo registro de representación son: verbal, analítico
y tabular. Asimismo, se observó que las conversiones entre diferentes registros
detectadas fueron: verbal al analítico, tabular a gráfico, analítico a verbal, analítico
a tabular, gráfico a verbal, analítico a gráfico y verbal a gráfico.
Para
analizar las respuestas, de los estudiantes, se construyeron las Tablas 4 y 5, ambas
de doble entrada, en las que se consignaron los tratamientos en un mismo
registro y conversiones entre registros diferentes, en función de las
calificaciones de las respuestas (bien, regular, mal, o no realiza).
Tabla 4. Cantidad de registros,
según calificación por tipo de tratamiento, correspondientes al primer parcial
del primer cuatrimestre de 2019.
|
Calificación Tratamiento |
Bien |
Regular |
Mal |
No realiza |
|
verbal |
12 |
3 |
5 |
12 |
|
tabular |
10 |
2 |
3 |
17 |
|
analítico |
13 |
7 |
6 |
6 |
Tabla 5. Cantidad de registros,
según calificación por tipo de conversión, correspondientes al primer parcial
del primer cuatrimestre de 2019.
|
Calificación Conversión |
Bien |
Regular |
Mal |
No realiza |
|
verbal a analítico |
16 |
4 |
5 |
7 |
|
tabular a gráfico |
11 |
2 |
3 |
16 |
|
analítico a verbal |
8 |
2 |
7 |
15 |
|
analítico a tabular |
3 |
0 |
0 |
29 |
|
gráfico a verbal |
3 |
0 |
1 |
28 |
|
analítico a gráfico |
4 |
1 |
0 |
27 |
|
verbal a gráfico |
3 |
0 |
5 |
24 |
De la
información obtenida, de la Tabla 4, se tiene que el 62,5 % de las evaluaciones
se observa el tratamiento dentro del registro verbal en las descripciones que
realizan sus autores en las conclusiones parciales o finales de la resolución
de la actividad.
El
46,88 % realizó el tratamiento dentro del registro tabular al hallar las
imágenes, a través de la función, de cada punto seleccionado.
El tratamiento
realizado dentro del registro algebraico fue evidenciado en un 82,25 % de las
evaluaciones. En este proceso los estudiantes se abocaron a la búsqueda de
puntos críticos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, intervalos de
concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
De los
datos recabados de la Tabla 5, pudo inferirse que el 78,13 % de los alumnos
realizaron conversión del registro verbal al analítico. Esto significa que a
partir de la consigna se abocaron a obtener, desde el cálculo diferencial,
relaciones que indiquen intervalos de crecimiento, decrecimiento, extremos,
intervalos de concavidad y convexidad.
El 50
% de los jóvenes procedieron en la conversión del registro tabular al gráfico. En
esto se procedió a encontrar el gráfico cartesiano de la función a partir de
pares ordenados expresamente seleccionados en una disposición tabular.
El
53,13 % de los exámenes mostraron la conversión del registro analítico al verbal.
En este proceso, los jóvenes procedieron a describir las características de la
función luego de proceder al desarrollo algebraico en el que desplegaron sus
conocimientos del cálculo diferencial.
Un
9,36 % de los exámenes manifestaban la conversión del registro analítico al
tabular, proceso que requirió la habilidad de ir de las conclusiones
algebraicas al cálculo de coordenadas de puntos que pertenecen a la gráfica de
la función.
El
12,5 % realizaron la traducción del registro gráfico al verbal, a efectos de
traducir las características de la función. Este es válido para un curso
inicial de matemática, en un curso de la Universidad, no en el nivel que el
estudiante ya ha adquirido herramientas conceptuales que otorga el cálculo
diferencial.
En la
conversión del registro analítico al gráfico operaron 15,63 % de los
estudiantes. Si bien no se observó la presencia de tablas de datos, se infiere
que tuvieron que hacer esos cálculos en hoja a parte para lograr la confección
deseada.
Finalmente,
el 25 % procedió a la traducción del registro verbal al gráfico. En este
aspecto se supone que el 9,38 % graficó en forma correcta, aunque tuvo que
recurrir a una tabla de datos en hoja aparte, en tanto que el 15,62 % procedió
a realizar esbozos incorrectos de la función pretendida.
Segunda etapa: Esta
etapa transcurrió durante el segundo cuatrimestre del año 2019, la que, su vez,
consta de dos subetapas.
Primera subetapa: Como
se manifestó en la sección anterior se diseñó una secuencia didáctica referida
al tema abordado, la que consta de dos actividades consignadas en la Figura 2.
En fechas acordadas, con el equipo de investigación, se implementó la secuencia
didáctica y se trabajó con grupos de al menos tres integrantes. Más
precisamente seis equipos de tres y dos de cinco miembros cada uno
respectivamente.
Para
llevar a cabo la secuencia didáctica los estudiantes debieron asistir con al
menos una notebook o netbook con el software GeoGebra instalado, aunque también
se dio el caso que algunos alumnos contaban con esta instalación en sus Smartphone.
Se
inició el encuentro exponiendo, a través del cañón proyector, y explicando la
forma de introducción de la función ,
mediante sintaxis específica, al tiempo que los estudiantes lo realizaron en
equipo en sus computadoras. Asimismo, se los instruyó en la construcción del
deslizador “a”, en
un rango seteado convenientemente, y la determinación del punto Po (a, f(a)), asociado al deslizador.
Se formuló la pregunga ¿Cuál es el
significado de f’ (a)?, y los alumnos respondieron que
representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto Po. Acto seguido se los invitó a graficar la mencionada tangente
(Figura 4).
Cabe destacar que, la gráfica de
la función, el punto, el deslizador y la recta tangente muestran sus
representaciones tanto en la vista gráfica como en la vista algebraica,
virtudes que posee la interface de GeoGebra al brindar simultáneamente, en este
caso, dos registros de representación: expresión analítico y gráfico.
Figura 4. Captura
de pantalla de Geogebra: Representación gráfica
y analítica de deslizador “a”, función f y recta tangente a la curva en el punto Po (a, f(a)).
Si bien GeoGebra cuenta con hoja
de cálculo donde pueden registrarse, en forma sincrónica, valores que surgen de
la animación de diversos objetos, por una cuestión de espacio y mejor visión se
optó por construir y completar, en el pizarrón, la Tabla 3 (registro tabular).
A partir de la participación de
los alumnos, la docente fue completando la tabla en forma paulatina, y se
obtuvieron relaciones y conclusiones conjuntas, tal como se indica a
continuación:
- Abscisa y ordenada de Po, pendiente de la recta tangente en Po (f’ (a)) y signo que adopta de acuerdo a
las coordenadas de Po.
- Análisis y determinación de
características de la función, en relación al signo de f’ (a). Los estudiantes
establecieron que cuando f’ (a)> 0, f es creciente; cuando f’ (a)< 0, f es decreciente; y cuando f’ (a)=0, f no es creciente ni decreciente. Lo
cual derivó en la institucionalización de las características del crecimiento o
decrecimiento de una función en un determinado intervalo.
- Determinación del crecimiento
o decrecimiento que tiene pendiente de la recta tangente de acuerdo a las
coordenadas de Po. Los
jóvenes determinaron los intervalos en los cuales f’ (a) aumenta, disminuye o no aumenta ni disminuye.
- Análisis y determinación de
características que posee la función, en relación al crecimiento o
decrecimiento del valor de f’ (a). Los estudiantes establecieron que cuando f’ (a) es creciente entonces f es cóncava; y cuando f’ (a) es decreciente entonces f es convexa. Posteriormente, se realizó la
institucionalización del concepto abordado. Asimismo, se analizó y estipuló la
relación existente entre la concavidad y convexidad de la función, en un
intervalo, con el signo de la derivada segunda en el mismo intervalo.
Se produjeron los tratamientos
dentro de los registros analítico, gráfico, tabular y verbal, al tiempo que se hicieron
conversiones entre: registro gráfico y analítico, gráfico y tabular, analítico
y gráfico, verbal y analítico, verbal y gráfico, verbal y tabular.
Segunda subetapa: La
cantidad de alumnos que realizaron el primer parcial en el segundo cuatrimestre
del año 2019, de la comisión del turno mañana, respecto de los cuales se llevó
a cabo la investigación exploratoria, fue 58. A su vez, se subdividen en 27 que
asistieron a la secuencia didáctica (grupo experimental) y 31 que no lo
hicieron (grupo de control).
Cabe
destacar que, si bien los alumnos del grupo de control, por razones de índole
personal, no asistieron a la clase donde se implementó la secuencia didáctica,
existieron otras instancias donde pudieron abordar la temática en cuestión,
como ser clases prácticas, tutorías y horarios de consulta, lo cual garantiza
el abordaje del tema por otros medios.
Al
igual que en la primera etapa, se completó la Tabla 2, una por cada examen
analizado. Es así que, pudo determinarse que los tratamientos dentro de un
mismo registro de representación son: verbal y gráfico. Asimismo, se observó
que las conversiones entre diferentes registros detectadas fueron: gráfico a
verbal, y verbal a gráfico.
A
efectos de analizar las respuestas, dadas por los estudiantes, se construyeron
las Tablas 6 y 7, para el grupo experimental y Tablas 8 y 9 para el grupo de
control, del mismo modo que se hizo con las Tablas 4 y 5, respectivamente, en
la primera etapa.
El
96,3 % de los alumnos del grupo experimental realizó el tratamiento en el
registro verbal al plasmar las diversas características de la gráfica de la
función. Aunque el 22,22 % lo hizo incorrectamente y solo el 3,7 % no lo
efectuó. En tanto que el 77,78 % de los estudiantes realizaron correctamente o
en forma regular el tratamiento dentro del registro gráfico, mientras que el 22,22
% lo hizo incorrectamente. Este proceso fue llevado a cabo al esbozar la
función solicitada a partir del gráfico de la función derivada.
Tabla 6. Cantidad de registros,
según calificación por tipo de tratamiento, correspondientes al primer parcial
del segundo cuatrimestre de 2019 en el grupo experimental.
|
Calificación Tratamiento |
Bien |
Regular |
Mal |
No realiza |
|
verbal |
17 |
3 |
6 |
1 |
|
gráfico |
19 |
2 |
6 |
0 |
Tabla 7. Cantidad de registros,
según calificación por tipo de conversión, correspondientes al primer parcial
del segundo cuatrimestre de 2019 en el grupo experimental.
|
Calificación Conversión |
Bien |
Regular |
Mal |
No realiza |
|
gráfico a verbal |
19 |
1 |
6 |
1 |
|
verbal a gráfico |
19 |
1 |
6 |
1 |
Además,
el 74,08 % de los exámenes evidenciaron la conversión entre los registros
verbal y gráfico de manera correcta o medianamente correcta, en tanto que el
22,22 % lo hizo incorrectamente y en el 3,7 % no se efectuó.
El
58,06 % de los estudiantes del grupo de control hicieron un tratamiento
incorrecto en el registro verbal en contraposición con el 41,94 % que lo hizo
de manera correcta o regular. Mientras que un 54,39 % lo efectuó
incorrectamente en el registro gráfico, en contraste con el 41,94 % que lo hizo
de modo correcto o regular.
Tabla 8. Cantidad de
registros, según calificación por tipo de tratamiento, correspondientes al
primer parcial del segundo cuatrimestre de 2019 en el grupo control.
|
Calificación Tratamiento |
Bien |
Regular |
Mal |
No realiza |
|
verbal |
9 |
4 |
18 |
0 |
|
gráfico |
13 |
0 |
17 |
1 |
Tabla 9. Cantidad de registros,
según calificación por tipo de conversión, correspondientes al primer parcial
del segundo cuatrimestre de 2019 en el grupo control.
|
Calificación Conversión |
Bien |
Regular |
Mal |
No realiza |
|
gráfico a verbal |
10 |
3 |
18 |
0 |
|
verbal a gráfico |
10 |
3 |
18 |
0 |
Al
mismo tiempo, el 58,06 % de los exámenes acreditaron la conversión entre los
registros verbal y gráfico de manera incorrecta, en tanto que el porcentaje
restante lo hizo de forma correcta o medianamente correcta.
El 63%
del grupo experimental efectúa, en el Parcial, Bien el tratamiento del lenguaje
verbal y sólo el 22% lo realiza Mal. A diferencia del grupo de control en el
que sólo el 29% realiza Bien este tratamiento y, el 58%, Mal. En cuanto al
tratamiento Regular del lenguaje citado, son similares los porcentajes en ambos
grupos.
En las
Figuras 5 y 6 se comparan los porcentajes de los tratamientos en un mismo
registro en función de las calificaciones entre el grupo experimental y el de
control, en tanto que en las Figuras 7 y 8 se procede de idéntica forma con las
conversiones entre dos registros.
Figura 5. Tratamiento
en el registro verbal del 1er parcial del Segundo Cuatrimestre 2019.
Figura 6. Tratamiento
en el registro gráfico del 1er parcial del Segundo Cuatrimestre 2019.
Figura 7. Conversión
del registro verbal al gráfico del 1er parcial del Segundo Cuatrimestre 2019.
Figura 8. Conversión
del registro gráfico al verbal del 1er parcial del Segundo Cuatrimestre 2019.
El
77,78 % del grupo experimental efectúa correctamente o de modo regular, el tratamiento
del lenguaje gráfico y sólo el 22,2% lo realiza Mal. A diferencia del grupo de
control en el que sólo el 42% realiza Bien este tratamiento y, el 55%, Mal. Se
observa, un bajo porcentaje de alumnos del grupo experimental que realiza de
forma regular el tratamiento del lenguaje al que se hace referencia y sólo el
grupo de control no lo realiza.
En
cuanto a la conversión del lenguaje verbal al gráfico, en el grupo experimental
el 70,4% de los alumnos hicieron Bien y sólo el 22,2% Mal. A diferencia del
grupo de control, en el que el 32,3% hizo Bien y el 58% Mal. Un 9,7% del grupo
de control hizo Regular esta conversión entre lenguajes y el 3,7% del grupo
experimental lo hizo de esta manera.
Existe
una clara diferencia entre los estudiantes que realizaron mayor número de
tratamientos y conversiones del grupo experimental comparada con el grupo de
control. Diferencia que finalmente se traduce no solamente en número de
transformaciones sino también en la forma correcta de hacerlo. A la luz de la
teoría postulada por Duval, la conceptualización es alcanzada cuando el alumno
puede recurrir a distintos registros semióticos de representación.
Conclusiones
En el presente trabajo pudo determinarse cuáles son
los registros semióticos de representación utilizados por los alumnos de dos
comisiones de la cátedra Análisis Matemático, de las carreras de grado antes
mencionadas. Los tratamientos determinados son relativos al estudio de
intervalos de crecimiento y de concavidad de una función, como también su
relación con las características propias de la función derivada.
El
haber operado con mayor cantidad de transformaciones de registros semióticos de
representación habla de un mejor manejo de los conceptos abordados, lo cual se
condice con lo postulado por los autores de la bibliografía utilizada en el
marco teórico.
El
contraste observado entre el grupo experimental y el de control, permite conjeturar
que la implementación de la secuencia didáctica abonó en favor de enriquecer
las habilidades de los alumnos al momento de utilizar mayor número de
transformaciones de registros semióticos de representación, a diferencia de lo
que también sucedía en la evaluación del cuatrimestre anterior. Cabe destacar
que los alumnos de primer cuatrimestre podrían haber hecho uso correcto de una
gran variedad de tratamientos y conversiones, pero no lo hicieron, lo cual
motivó al equipo de investigación a llevar a cabo el diseño e implementación de
la secuencia didáctica.
También,
puede señalarse que el uso de GeoGebra propició los resultados obtenidos, ya
que los estudiantes advirtieron las características de la función en
concordancia con las de su derivada. Características evidenciadas en los
distintos registros semióticos de representación que ofrece el software en sus diferentes
vistas, además de los recursos de animación que potencian la visualización de
las características intrínsecas y relaciones entre las funciones estudiadas.
Este trabajo propició herramientas que demostraron
ser superadoras para repensar la práctica docente y generar actividades que
promuevan el uso de diferentes registros semióticos de representación a efecto
que estén presentes para la resolución de nuevas actividades.
Referencias
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configuración ontosemiótica. AIEM. Avances de la Investigación en Educación Matemática. 10.
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